Transition “History type”, yükün uygulanma süresinin sınırlı olduğu anlamına gelir. Örneğin t=0 dan t=0.5sn gibi. Peryodik History type ise tanımlanan fonksiyonun sürekli tekrarlandığı bir yükleme durumudur. Bu yüklemede dikkate alınması gerekli olan durum ise başlangıç koşullarının yükleme sonunda elde edilen başlangıç hız ve yerdeğiştirmelerine eşit alındığıdır. Peryodik yükleme durumlarında, analizdeki step sayısı ile fonksiyonun süresinin aynı alınması tavsiye edilir.
Örneğin aşağıdaki fonkiyon için transition analiz yapılması durumunda, program 0.2 sn boyunca ilgili yüklemeyi yapacak ardından sistem serbest titreşim hareketi ile (başlangıç yer değiştirme ve hız değerleri kullanılarak) devam edecektir. Aynı grafik ile peryodik bir analiz yapılması durumunda, fonksiyon 0.2sn peryot değeri ile kendini tekrar edecektir. Peryodik harekette ise yük kendini tekrar edecek, başlangıç koşulları ise ilk peryodun sonundaki değerlere eşit olarak program tarafından otomatik olarak kullanılacaktır.
Zaman tanım alanında Modal vs Direct Integration Analiz
Genel olarak modal çözüm yöntemiyle yapılan analiz çok daha hızlı ve daha doğru sonuç vermektedir. Direct integration tipi çözümde analiz sonuçları zaman adımları (time step) sonuçların etkilenmediği mertebeye kadar değiştirilmeli ve analiz gerektiği kadar tekrarlanmalıdır. FNS (modal-Fast Nonlinear) analiz tipinde mod sayısı ve frekansların adetleri yeterli sayıda olmalıdır.
Sönümsüz Serbest Titreşim Modeli-Tek Serbestlik Dereceli
Yapı Dinamiği kitaplarında başlangıç hız ve yerdeğiştirme için çözülen hareket denkleminin sonucu aşağıdaki şekildedir.
Başlangıç hız ve yerdeğiştirme değerlerine göre elde edilecek olan zamana bağlı yerdeğiştirme formülü SAP2000 ve excel kullanılarak kontrol edilebilir. Transition history type bir fonksiyon tanımlandıktan sonra, fonksiyonun bitiş anındaki hız ve yerdeğiştirme değerleri ile yukarıdaki formüle göre hesaplanan yerdeğiştirme ile programın verdiği eğrinin örtüştüğü rahatlıkla gösterilebilir.
Aşağıda tanımlanan basit kiriş modeli ile hareket denklemine ait yerdeğiştirme-zaman eğrisi genel formül ve program yardımıyla elde edilerek grafiklerin üstüste örtüştüğü gösterilecektir.
Çubuk eleman kesiti 400mmx400mm, L=6000mm E=33000000 kN/m²
Çubuk eleman orta noktasına 200kN düşey yük yüklemesi yapılmıştır. Kütle katılımı yine aynı noktaya etkitilen 100kN düşey yükden elde edilecektir.
TH fonsiyonu ve yükleme detayı aşağıda resimlerden görülebilir. Sönümsüz sistemler için damping oranı 0 alınmalıdır.
Transition analiz sonucunda elde edilen yerdeğiştirme ve hız değerleri ile başlangıç koşulları tanımlanacak ve hareket denkleminin grafiği çizilecektir. SAP2000 den elde edilen yerdeğiştirme eğrisinin 0.1sn den sonraki kısmı ile yukarıda tariflenen aynı olup olmadığı kontrol edilecektir.
Plot function output dosyasından t=0.1sn deki yerdeğiştirme=0.00905m ve hız=0.86804 m/s elde edilmiştir.
Yukarıdaki formül ile SAP2000 (t+0.1) eğrisi superpoze edildiğinde aşağıdaki gibi eğrilerin birebir aynı oldukları görülecektir.
İlgili adımların tekrarlanabilmesi için model aşağıdan indirilebilir. (v23.3.1)
Rijitlik ve peryot ilişkisi ile ilgili bazı temel bilgiler de bu örnek üzerinden incelenebilir. Basit kiriş ortasından tekil yüklü olması durumunda deplasman değeri;
PL³/48EI ise, rijitlik “k”, birim deplasmana karşılık olarak uygulanması gerekli olan kuvvet olarak ifade edilip, k=48EI/L³ şeklindedir. Rijitlik ve deplasman arasındaki bu ilişki diğer sistemler için de genelleştirilebilir.
Bu durumda çubuk eleman rijitliği k=48EI/L³=(48*33000000*0.4*0.4³/12)/6³=15644.44 kN/m, kütle m=100/9.81=10.19
Peryot, 2pi√m/k=0.1604 sn.
Sönümsüz Harmonik Yük Altında Tek Serbestlik Dereceli Sistem İncelemesi
Sönümsüz sistemin harmonik sinüs yüklemesi altında genel hareket denklemi aşağıdaki şekildedir.
Denklemin diferansiyel işlemler yardımıyla çözümü sonucu;
elde edilir.
Başlangıç hız ve yerdeğiştirme değerlerinin 0 olması durumunda ise;
halini alır.
, sabiti kuvvet açısal frekansının yapı açısal frekansına oranı olarak ifade edilir.
Sönümsüz tek serbestlik dereceli sistemde kullanılan model devam ettirilip aşağıdaki parametrelerde sinüs fonksiyonu tanımlanacaktır.
Birçok ekipmanda frekans değeri 50Hz olduğu için, 0.02 sn peryotlu bir fonksiyon kullanımı tercih edilmiştir. Output time step size ile sinüs fonksiyonu zaman aralıklarının aynı olduklarına dikkat edilmelidir. 0.2 sn lik response kontrol edilecektir. Başlangıç değerlerinin 0 olmasının kontrol edilebilmesi için history type transition seçilmiştir.
Yapılan harmonik yükleme, uygulanan 200kN düşey yük (genlik) ile 200sinwt formundadır.
Kuvvet açısal frekansı, w=2pi/T=2pi/0.02=314.159
Harmonik kuvvet=200sin314.159t
Sistem rijitliği, k=48EI/L³=(48*33000000*0.4*0.4³/12)/6³=15644.44 kN/m,
kütle m=100/9.81=10.19
Sistem peryodu, 2pi√m/k=0.1604 sn.
Sistem açısal peryodu, w=2pi/0.1604=39.17
Başlangıç hız ve yerdeğiştirmelerinin 0 olması durumu için yukarıdaki değerler kullanılarak aşağıdaki formül ile yerdeğiştirme eğrisi elde edilecek ve SAP2000 den alınan eğri ile süperpoze edilecektir.
SAP2000 modelini aşağıdaki adresten indirebilirsiniz.(v23.3.1)
Steady-State Analiz
Bu analiz tipi ile belirli bir frekans aralığında, sistemin harmonik yüklemeye verdiği cevaplar grafiksel olarak incelenebilir. Harmonik yükler altında hareket denkleminin çözümünde ortaya çıkan ilk denklem takımı hesaplara dahil edilmez.
Analiz, herhangi bir makina temelinin alt ve üst limit frekans analizlerindeki tepkisini ölçmek için kullanılabilir. Titreşimli makina temellerinde uygulanan dengelenmemiş yükler eğer açısal frekans karesi ile orantılı bir şekilde etkiyorsa, steady-state foksiyonu bu oran ile tanımlanarak sistem tepkisi elde edilebilir.
Örnek olarak, önceki başlıkta kullanılan kiriş elemanı steady state analiz ile incelenecektir. Frekans aralığı olarak 0-50 Hz ve fonksiyon olarak birim fonksiyon tanımlanmıştır. İlgili noktanın fonksiyon altındaki deplasman değerinin, sistem frekansı ile eşit olduğu yerde rezonans görülmesi gerekmektedir. Aşağıda deplasman değeri ve model gösterilmiştir.
Yapı frekansı 6.23 Hz olduğu bölgede analiz maksimum yerdeğiştirmeleri vermektedir. Örnek model aşağı adresten indirilebilir.